傅立叶考虑了这样的半无穷的薄片 $D=[0,+\infty)\times[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$,  与它相接的区域 $\Omega=(-\infty,0]\times[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$ 是稳定热源, 设温度始终为常值 1.

$D$ 上初始温度为 0. 当 $D$ 和 $\Omega$ 相接后, 由于热传导, $D$ 上的温度开始增高, 试求出温度函数 $v(x,y)$.

这是 $v$ 所满足的初始条件:

\[
\begin{cases}
v(0,y)=1,&\forall\ y\in(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})\\
v(x,\pm\frac{\pi}{2})=0,&\forall\ x\in[0,+\infty)\\
\end{cases}
\]

求解方程 \[\frac{\partial^2 v}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 v}{\partial y^2}=0.\]

另外, 由物理常识, 对于距离 $\Omega$ 边界很远的点 $p\in D$, 其温度 $v(p)$ 会非常小. 

注: 从某种观点, 物理常识在求解这类方程时, 也可以算作解应满足的条件. 也就是说, 物理学家往往对方程加上了额外的符合物理实际的条件. 这些“直觉”能帮助我们求解数学方程.

References:

王青建 主编《科学名著赏析--数学卷》P.195  《热的解析理论》原文节选.

傅立叶[法]  著 《热的解析理论》